L'algèbre pour l'imagerie
Les matrices qui transforment : produit, matrices de rotation, d'échelle et de cisaillement, coordonnées homogènes pour la translation, composition dans le bon ordre, inverse et changement de repère.
- 30 cartes
- 5 thèmes
- Gratuit
Le programme, thème par thème
Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.
- Notions
- Questions
- Ranger et relier
- Mises en situation
- Comprendre
Quelques cartes du deck
Produit de matrices : de quoi s'agit-il ?
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Matrice dont chaque case est le produit scalaire d'une ligne de la première matrice par une colonne de la seconde.
Il n'est pas commutatif : A·B et B·A diffèrent en général. C'est pourquoi l'ordre des transformations compte.
R est la rotation de 90° [[0, −1], [1, 0]] et S la mise à l'échelle [[2, 0], [0, 1]]. Que vaut R · S ?
[[0, −1], [2, 0]][[0, −2], [1, 0]][[0, 0], [0, 0]][[2, −1], [1, 1]]
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[[0, −1], [2, 0]]Ligne 1 de R par colonnes de S : (0·2 + (−1)·0, 0·0 + (−1)·1) = (0, −1). Ligne 2 : (1·2 + 0·0, 1·0 + 0·1) = (2, 0).
[[0, −2], [1, 0]]est S · R, l'ordre inverse ; la matrice nulle multiplie case à case ;[[2, −1], [1, 1]]additionne.Le produit A·B existe quand le nombre de … de A est égal au nombre de … de B.
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Le produit A·B existe quand le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.
Chaque case combine une ligne de A et une colonne de B, qui doivent avoir la même longueur. Une matrice 2 × 3 par une matrice 3 × 4 donne une matrice 2 × 4.
Matrice de transformation : de quoi s'agit-il ?
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Matrice dont le produit par les coordonnées d'un point donne les coordonnées de son image par une transformation.
Ses colonnes sont les images des vecteurs de la base : celle de l'axe x, puis celle de l'axe y. Les lire suffit à reconnaître la transformation.
Un objet doit tourner sur lui-même, puis être placé en (10, 0). Le code calcule R · T · p et l'objet décrit un cercle autour de l'origine du monde. Quelle correction ?
- Remplacer T par son inverse avant le produit
- Écrire T · R · p : la rotation doit agir avant la translation
- Transposer R pour qu'elle tourne dans l'autre sens
- Passer de matrices 3 × 3 à des matrices 2 × 2
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Écrire T · R · p : la rotation doit agir avant la translation
Dans R · T · p, T déplace d'abord le point en (10, 0), puis R le fait tourner autour de l'origine du monde : il orbite. Dans T · R · p, la rotation se fait autour de l'origine de l'objet, puis on le déplace.