Résoudre f(x) = 0 : dichotomie, Newton, point fixe
Les trois méthodes itératives de recherche d'une racine : dichotomie, méthode de Newton et itération de point fixe, avec leurs conditions de réussite, leurs cas d'échec, leur vitesse et leurs critères d'arrêt.
- 28 cartes
- 5 thèmes
- Gratuit
Le programme, thème par thème
Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.
- Notions
- Questions
- Ranger et relier
- Les chiffres
- Comprendre
Quelques cartes du deck
Dichotomie (recherche de racine) : de quoi s'agit-il ?
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Méthode qui encadre une racine d'une fonction continue dans un intervalle où elle change de signe, coupe cet intervalle en deux et garde la moitié où le changement de signe subsiste.
Chaque tour divise la longueur de l'intervalle par 2 : après n tours, elle vaut (b − a)/2ⁿ. La méthode converge toujours, mais lentement : un chiffre binaire de plus par tour.
Que montre ce programme de Newton pour f(x) = x³ − 2x + 2 ?
```python
def f(x): return x**3 - 2*x + 2
def df(x): return 3*x**2 - 2
x = 0
for _ in range(4):
x = x - f(x) / df(x)
print(x)`- Elle alterne entre 1.0 et 0.0, sans converger
- Elle converge en quatre tours vers la racine réelle de f
- Elle diverge : les valeurs affichées grandissent à chaque tour
- Elle s'arrête sur une ZeroDivisionError dès le deuxième tour
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Elle alterne entre 1.0 et 0.0, sans converger
Le programme affiche 1.0, 0.0, 1.0, 0.0. De 0, la tangente coupe l'axe en 1 ; de 1, elle le recoupe en 0 : un cycle. Aucun f′ ne s'annule ici, et un autre point de départ aurait réussi.
La dichotomie exige une fonction … dont les valeurs en a et en b sont de … ; après n tours, l'intervalle a pour longueur ….
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La dichotomie exige une fonction continue dont les valeurs en a et en b sont de signes contraires ; après n tours, l'intervalle a pour longueur (b − a)/2ⁿ.
Le signe garantit la présence d'une racine (valeurs intermédiaires), la continuité rend la garantie valable, et chaque tour coupe la longueur en deux.
Méthode de Newton : de quoi s'agit-il ?
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Itération qui remplace la fonction par sa tangente au point courant et prend pour nouvel itéré l'abscisse où cette tangente coupe l'axe des x : xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ).
Près d'une racine simple, le nombre de chiffres exacts double à peu près à chaque tour, mais il faut connaître f′ et partir d'un point assez proche de la racine.