Division euclidienne des polynômes
Diviser un polynôme A par un polynôme B non nul : A = BQ + R avec un reste de degré strictement inférieur à celui de B. Le reste de la division par (x − a), la divisibilité et le schéma de Horner.
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- 6 thèmes
- Gratuit
Le programme, thème par thème
Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.
- Notions
- Questions
- Ranger et relier
- Les chiffres
- Mises en situation
- Comprendre
Quelques cartes du deck
Division euclidienne de polynômes : de quoi s'agit-il ?
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Pour A et B ≠ 0, il existe un unique couple (Q, R) tel que A = BQ + R et R est nul ou de degré strictement inférieur à celui de B.
Comme pour les entiers (17 = 5 × 3 + 2 avec 2 < 5), la condition sur le reste rend le couple unique. Q se trouve terme à terme, en divisant à chaque étape les termes de plus haut degré.
Quel est le reste de la division de P(x) = x³ − 2x + 1 par x + 1 ?
- 2
- 0
- −2
- 4
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2
x + 1 = x − (−1), donc le reste est P(−1) = −1 + 2 + 1 = 2. Le leurre 0 vient de P(1) = 0, où l'on a pris la mauvaise racine ; −2 est une erreur de signe.
Dans A = BQ + R, le degré de R est … à celui de B, et deg Q = … quand deg A ≥ deg B.
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Dans A = BQ + R, le degré de R est strictement inférieur à celui de B, et deg Q = deg A − deg B quand deg A ≥ deg B.
Diviser par un polynôme de degré 2 laisse un reste de degré au plus 1 ; un polynôme de degré 5 divisé par un polynôme de degré 2 donne un quotient de degré 3.
Théorème du reste : de quoi s'agit-il ?
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Le reste de la division d'un polynôme P par (x − a) est le nombre P(a).
Pour P(x) = x³ + 2x + 1 divisé par x − 2, le reste est P(2) = 8 + 4 + 1 = 13, sans poser la division. Et P(a) = 0 équivaut à : (x − a) divise P.