Groupes cycliques et exponentiation modulaire
Le groupe des inversibles de Z/pZ, l'ordre d'un élément, les générateurs, le petit théorème de Fermat, le théorème d'Euler, l'indicatrice d'Euler et l'exponentiation rapide.
- 28 cartes
- 4 thèmes
- Gratuit
Le programme, thème par thème
Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.
- Notions
- Questions
- Ranger et relier
- Les chiffres
Quelques cartes du deck
Groupe cyclique : de quoi s'agit-il ?
Voir la réponse
Groupe dont tous les éléments s'obtiennent comme puissances successives d'un seul d'entre eux.
Les inversibles de Z/7Z sont cycliques : les puissances de 3 donnent 3, 2, 6, 4, 5, 1, c'est-à-dire les six éléments.
À quelles conditions a puissance p − 1 vaut-il 1 modulo p ?
- p premier, et p ne divise pas a
- p premier, a quelconque
- p impair, a quelconque
- a premier avec p, p quelconque
Voir la réponse
p premier, et p ne divise pas a
Si p divise a, a est nul modulo p et ses puissances restent nulles. Et si p n'est pas premier, l'exposant doit être φ(p), pas p − 1 : modulo 9, 2⁶ ≡ 1 mais 2⁸ = 256 ≡ 4.
Pour un nombre premier p, l'indicatrice vaut φ(p) = … ; pour un produit pq de deux premiers distincts, φ(pq) = ….
Voir la réponse
Pour un nombre premier p, l'indicatrice vaut φ(p) = p − 1 ; pour un produit pq de deux premiers distincts, φ(pq) = (p − 1)(q − 1).
Les entiers de 1 à p − 1 sont tous premiers avec p. Pour pq, on retire les multiples de p et de q : φ(33) = 2 × 10 = 20.
Ordre d'un élément : de quoi s'agit-il ?
Voir la réponse
Plus petit exposant k ≥ 1 pour lequel les puissances de l'élément reviennent à 1.
Dans les inversibles de Z/13Z, les puissances de 3 sont 3, 9, 1 (27 ≡ 1) : l'ordre de 3 est 3. Cet ordre divise toujours le nombre d'éléments du groupe, ici 12.