Injection, surjection, bijection
Applications d'un ensemble dans un autre : image, antécédent, application injective, surjective, bijective, application réciproque, et ce que les cardinaux des ensembles finis permettent.
- 27 cartes
- 4 thèmes
- Gratuit
Le programme, thème par thème
Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.
- Notions
- Questions
- Ranger et relier
- Les chiffres
Quelques cartes du deck
Image et antécédent : de quoi s'agit-il ?
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Si f(x) = y, alors y est l'image de x et x est un antécédent de y. Chaque x a exactement une image, mais un y peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Par x ↦ x² sur ℝ, 4 a deux antécédents (2 et −2), 0 en a un, −1 n'en a aucun. Unicité de l'image, mais pas des antécédents : c'est ce que précisent injective et surjective.
Soit f : ℝ → ℝ, x ↦ x². Que vaut l'image réciproque de {4} ?
- {−2, 2}
- {2}
- {16}
- {4}
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{−2, 2}
L'image réciproque d'une partie B est l'ensemble de tous les x tels que f(x) est dans B : x² = 4 donne x = 2 ou x = −2. Ne pas la confondre avec l'image directe de {4}, qui est {16}.
Une application f est injective quand f(x) = f(y) entraîne … : deux éléments distincts ont des images ….
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Une application f est injective quand f(x) = f(y) entraîne x = y : deux éléments distincts ont des images distinctes.
C'est la contraposée de « x ≠ y entraîne f(x) ≠ f(y) » : les deux formulations sont équivalentes, on choisit la plus commode pour la preuve.
Application injective : de quoi s'agit-il ?
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Application où deux éléments distincts ont toujours des images distinctes : chaque élément d'arrivée a au plus un antécédent.
Pour la prouver, on suppose f(x) = f(y) et on démontre x = y. Pour la réfuter, un contre-exemple suffit : f(−2) = f(2) pour x ↦ x².