Intégration numérique
Approcher une intégrale définie par les rectangles, les trapèzes et Simpson : formules composées, sens de l'erreur selon la monotonie et la convexité, ordre de chaque méthode.
- 26 cartes
- 5 thèmes
- Gratuit
Le programme, thème par thème
Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.
- Notions
- Questions
- Ranger et relier
- Les chiffres
- Comprendre
Quelques cartes du deck
Intégration numérique : de quoi s'agit-il ?
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Calcul d'une valeur approchée d'une intégrale en remplaçant la fonction par des morceaux simples dont on sait calculer l'aire.
Utile quand la fonction n'a pas de primitive exprimable (e^(−x²)) ou n'est connue que par des mesures ; on cherche le meilleur compromis entre le nombre d'évaluations de f et l'erreur.
On approche ∫ de 2 à 5 de f(x) dx avec n = 6 sous-intervalles. Quel est le pas h ?
- 0,5
- 3
- 2
- 18
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0,5
h = (b − a)/n = (5 − 2)/6 = 0,5. La valeur 3 est la longueur de l'intervalle, 2 vient de n/(b − a), et 18 de (b − a) × n.
Une méthode composée sur [a ; b] avec n sous-intervalles a pour pas … ; les trapèzes évaluent f en … points.
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Une méthode composée sur [a ; b] avec n sous-intervalles a pour pas h = (b − a)/n ; les trapèzes évaluent f en n + 1 points.
n sous-intervalles ont n + 1 extrémités, comme n barreaux d'une clôture ont n + 1 poteaux. Chaque évaluation de f coûte : c'est ce que l'on cherche à économiser.
Intégrale définie : de quoi s'agit-il ?
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Aire algébrique entre la courbe de f, l'axe des x et les droites x = a et x = b, comptée négativement sous l'axe.
C'est la limite des sommes de rectangles quand le pas tend vers 0 : c'est cette définition que les méthodes numériques approchent avec un pas fini.