Interpolation de Lagrange
Le polynôme de degré au plus n qui passe par n + 1 points : existence, unicité, polynômes de base, calcul sur de petits exemples, erreur d'interpolation et phénomène de Runge.
- 28 cartes
- 5 thèmes
- Gratuit
Le programme, thème par thème
Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.
- Notions
- Questions
- Ranger et relier
- Les chiffres
- Comprendre
Quelques cartes du deck
Interpolation polynomiale : de quoi s'agit-il ?
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Recherche d'un polynôme qui prend exactement des valeurs données en des abscisses données.
n + 1 points d'abscisses distinctes déterminent un unique polynôme de degré au plus n. Il passe par tous les points, même ceux qui sont des mesures bruitées : ce n'est pas un ajustement.
Combien de polynômes de degré au plus 2 passent par trois points d'abscisses distinctes ?
- Exactement un
- Une infinité, avec un coefficient libre à choisir
- Deux, selon que la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas
- Aucun si les trois points ne sont pas alignés
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Exactement un
Trois conditions pour trois coefficients : le système a une solution unique dès que les abscisses sont distinctes. Trois points alignés donnent un polynôme de degré 1, qui est bien « de degré au plus 2 ».
Les abscisses x₀, …, xₙ où l'on impose la valeur du polynôme sont les … ; par n + 1 nœuds distincts passe un … polynôme de degré au plus ….
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Les abscisses x₀, …, xₙ où l'on impose la valeur du polynôme sont les nœuds ; par n + 1 nœuds distincts passe un unique polynôme de degré au plus n.
Deux polynômes de degré au plus n qui coïncident en n + 1 points ont une différence de degré au plus n qui a n + 1 racines : elle est nulle.
Formule de Lagrange : de quoi s'agit-il ?
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P(x) = y₀·L₀(x) + y₁·L₁(x) + … + yₙ·Lₙ(x) : le polynôme qui passe par les points (xᵢ ; yᵢ), écrit comme somme pondérée des polynômes de base.
En un nœud xⱼ, tous les termes s'annulent sauf yⱼ·Lⱼ(xⱼ) = yⱼ : c'est ce qui garantit que P passe par chaque point, sans résoudre aucun système.