Limites et croissances comparées
Limites en l'infini et en un point, opérations sur les limites, les quatre formes indéterminées, asymptotes horizontales et verticales, et croissances comparées du logarithme, des puissances et de l'exponentielle.
- 25 cartes
- 6 thèmes
- Gratuit
Le programme, thème par thème
Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.
- Notions
- Questions
- Ranger et relier
- Les chiffres
- Mises en situation
- Comprendre
Quelques cartes du deck
Limite en +∞ : de quoi s'agit-il ?
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Nombre ℓ dont f(x) se rapproche autant qu'on veut quand x devient assez grand ; ou +∞ si f(x) finit par dépasser tout seuil, −∞ s'il finit par passer sous tout seuil.
1/x tend vers 0 en +∞, x² tend vers +∞, et cos x n'a pas de limite : elle oscille entre −1 et 1 sans se stabiliser.
Quelle est la limite de (3x² + 1) / (x² − 4) quand x tend vers +∞ ?
- 3
- +∞
- 0
- 1
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3
Numérateur et dénominateur tendent vers +∞ : forme ∞/∞. En factorisant x² en haut et en bas, on obtient (3 + 1/x²) / (1 − 4/x²), qui tend vers 3/1 = 3. Seuls les termes de plus haut degré comptent.
Les quatre formes indéterminées sont +∞ − ∞, …, … et 0 / 0.
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Les quatre formes indéterminées sont +∞ − ∞, 0 × ∞, ∞ / ∞ et 0 / 0.
Les autres opérations sur les infinis se concluent directement : (+∞) + (+∞) = +∞, (+∞) × (−∞) = −∞, 5 / (+∞) = 0. 1 / 0⁺ = +∞ se conclut aussi, car le signe du dénominateur est connu.
Forme indéterminée : de quoi s'agit-il ?
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Écriture comme +∞ − ∞ qui ne permet pas de conclure : selon les fonctions en jeu, la limite peut valoir 0, un réel, +∞, −∞, ou ne pas exister.
x − x tend vers 0, x² − x vers +∞ et x − x² vers −∞, alors que chaque terme tend vers +∞ : il faut transformer l'expression (factoriser, simplifier) avant de conclure.