La loi des grands nombres
Pourquoi la fréquence observée se rapproche de la probabilité, ce que garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, combien de tirages donnent quelle précision, pourquoi le hasard ne se rattrape pas et comment la méthode de Monte-Carlo en profite.
- 26 cartes
- 6 thèmes
- Gratuit
Le programme, thème par thème
Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.
- Notions
- Questions
- Ranger et relier
- Les chiffres
- Mises en situation
- Comprendre
Quelques cartes du deck
Loi des grands nombres : de quoi s'agit-il ?
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Résultat qui dit que la moyenne observée de n répétitions indépendantes se rapproche de l'espérance quand n devient grand.
C'est la moyenne, ou la fréquence, qui converge, pas la somme : le nombre de piles s'écarte en général de plus en plus de la moitié des lancers.
Une pièce équilibrée vient de donner pile 8 fois de suite. Quelle est la probabilité que le prochain lancer donne pile ?
- 1/2
- Moins de 1/2, car face est en retard
- Plus de 1/2, car la pièce est peut-être truquée
- (1/2)⁹
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1/2
Une pièce équilibrée n'a pas de mémoire : P = 1/2 quel que soit le passé. (1/2)⁹ est la probabilité de 9 piles de suite avant le premier lancer, pas celle du prochain.
Pour une fréquence F de n tirages d'une probabilité p, P(|F − p| ≥ ε) ≤ …, qui est au plus ….
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Pour une fréquence F de n tirages d'une probabilité p, P(|F − p| ≥ ε) ≤ p(1 − p)/(nε²), qui est au plus 1/(4nε²).
p(1 − p) ne dépasse jamais 1/4 (atteint pour p = 1/2), ce qui donne une borne qui ne dépend plus de p inconnu.
Fréquence relative : de quoi s'agit-il ?
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Nombre de fois où un événement s'est produit divisé par le nombre d'essais.
Sur peu d'essais elle fluctue beaucoup ; la loi des grands nombres dit qu'elle se stabilise autour de la probabilité de l'événement.