Méthode des moindres carrés
Ajuster un modèle à des mesures en minimisant la somme des carrés des écarts verticaux : résidus, droite des moindres carrés, équations normales, parabole et linéarisation d'un modèle exponentiel ou puissance.
- 29 cartes
- 5 thèmes
- Gratuit
Le programme, thème par thème
Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.
- Notions
- Questions
- Ranger et relier
- Les chiffres
- Comprendre
Quelques cartes du deck
Méthode des moindres carrés : de quoi s'agit-il ?
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Façon de choisir les paramètres d'un modèle en rendant minimale la somme des carrés des écarts verticaux entre les mesures et les valeurs du modèle.
On élève au carré pour que les écarts positifs et négatifs ne s'annulent pas et que le minimum se calcule en dérivant : pour un modèle affine, on obtient une formule explicite.
Pour quatre points, n = 4, Σx = 6, Σy = 14, Σxy = 30 et Σx² = 14. Quelle est la pente de la droite des moindres carrés ?
- 1,8
- 2,1
- 2,5
- 2,3
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1,8
a = (nΣxy − ΣxΣy)/(nΣx² − (Σx)²) = (120 − 84)/(56 − 36) = 36/20 = 1,8. Les autres valeurs viennent de formules fausses : Σxy/Σx² ≈ 2,1, (Σxy − ΣxΣy)/(Σx² − (Σx)²) ≈ 2,5 (sans les facteurs n) ou Σy/Σx ≈ 2,3.
La droite des moindres carrés passe toujours par le … de coordonnées (… ; …).
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La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen de coordonnées (x̄ ; ȳ).
La seconde équation normale, a Σx + b n = Σy, divisée par n, s'écrit a·x̄ + b = ȳ : le point (x̄ ; ȳ) vérifie y = ax + b.
Résidu : de quoi s'agit-il ?
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Écart vertical entre une mesure yᵢ et la valeur que donne le modèle en xᵢ : eᵢ = yᵢ − ŷᵢ.
Positif si le point est au-dessus de la droite, négatif s'il est en dessous. Pour la droite des moindres carrés avec ordonnée à l'origine, leur somme est nulle.