Pivot de Gauss
Résoudre un système linéaire par le pivot de Gauss : matrice augmentée, opérations sur les lignes, forme échelonnée, remontée, et les trois issues possibles (une solution, aucune, une infinité).
- 28 cartes
- 5 thèmes
- Gratuit
Le programme, thème par thème
Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.
- Notions
- Questions
- Ranger et relier
- Les étapes
- Comprendre
Quelques cartes du deck
Matrice augmentée d'un système : de quoi s'agit-il ?
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Tableau qui regroupe les coefficients des inconnues de chaque équation, une ligne par équation, et à sa droite la colonne des seconds membres.
Elle contient tout le système sous une forme où l'on ne recopie plus les inconnues : x + 2y = 5 et 3x + 4y = 6 deviennent les lignes (1 2 | 5) et (3 4 | 6).
Laquelle de ces opérations sur les lignes peut changer l'ensemble des solutions du système ?
- L2 ← 0 × L2
- Échanger L1 et L3
- L2 ← L2 + 5 × L1
- L2 ← 3 × L2
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L2 ← 0 × L2
Multiplier par 0 efface l'équation : on ne peut plus la retrouver. Les trois autres opérations sont réversibles (on échange à nouveau, on retranche 5 L1, on divise par 3).
Pour annuler le coefficient a de la ligne Li avec le pivot p de la ligne Lj, on effectue Li ← Li − … × Lj.
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Pour annuler le coefficient a de la ligne Li avec le pivot p de la ligne Lj, on effectue Li ← Li − (a/p) × Lj.
Avec ce multiplicateur, le nouveau coefficient vaut a − (a/p) × p = 0. Seul le pivot, non nul, permet de former ce quotient.
Opération élémentaire sur les lignes : de quoi s'agit-il ?
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Échanger deux lignes, multiplier une ligne par un réel non nul, ou ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne.
Ces trois opérations sont réversibles, donc elles ne changent pas l'ensemble des solutions. Multiplier par 0 ne l'est pas : il efface une équation.
Résoudre un système par le pivot de Gauss : quelle étape vient après « Écrire la matrice augmentée du système » ?
- Annuler les coefficients situés sous le pivot
- Choisir un pivot non nul (en échangeant des lignes au besoin)
- Recommencer sur les lignes restantes jusqu'à la forme échelonnée
- Remonter de la dernière équation à la première
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Choisir un pivot non nul (en échangeant des lignes au besoin)
L'élimination descend et fabrique la forme échelonnée ; la remontée utilise ensuite chaque équation pour trouver une inconnue de plus, en commençant par la dernière.