Polynômes : degré, racines, factorisation
Polynôme à coefficients réels : degré, somme et produit, racine et multiplicité, factorisation par (x − a), nombre maximal de racines, factorisation complète d'un polynôme de degré 2 ou 3 qui a une racine évidente.
- 26 cartes
- 7 thèmes
- Gratuit
Le programme, thème par thème
Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.
- Notions
- Questions
- Ranger et relier
- Les chiffres
- Les courbes
- Mises en situation
- Comprendre
Quelques cartes du deck
Degré d'un polynôme : de quoi s'agit-il ?
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Plus grand exposant de x dont le coefficient n'est pas nul ; le coefficient correspondant s'appelle coefficient dominant.
deg(PQ) = deg P + deg Q, alors que deg(P + Q) peut être plus petit que les deux : x² + 1 et −x² + x ont pour somme x + 1, de degré 1, car les termes en x² s'annulent.
Combien de racines réelles distinctes a P(x) = (x − 1)²(x + 2) ?
- 2
- 3
- 1
- 0
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2
P s'annule en 1 (racine double) et en −2 (racine simple) : deux valeurs distinctes. Compter avec la multiplicité donnerait 3 ; ce n'est pas ce qu'on demande.
Un polynôme non nul de degré n a au plus … racines réelles.
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Un polynôme non nul de degré n a au plus n racines réelles.
Chaque racine fait sortir un facteur de degré 1 : après k racines distinctes, il reste un polynôme de degré n − k. Un polynôme de degré 3 a donc au plus 3 racines distinctes, et au moins une, car ses limites en −∞ et en +∞ sont de signes opposés.