Produit de matrices
Le produit de deux matrices : condition sur les dimensions, calcul ligne par colonne, non-commutativité, matrice identité, puissances et produit d'une matrice par un vecteur colonne.
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Le programme, thème par thème
Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.
- Notions
- Questions
- Ranger et relier
- Comprendre
Quelques cartes du deck
Produit de matrices : de quoi s'agit-il ?
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Pour A de dimensions m × p et B de dimensions p × n, matrice m × n dont le coefficient (i, j) vaut la somme, pour k de 1 à p, des a_ik × b_kj.
On multiplie la ligne i de A par la colonne j de B, terme à terme, puis on additionne. Cela exige que A ait autant de colonnes que B a de lignes.
Avec A = (1 2; 3 4) et B = (0 1; 5 −1), que vaut BA ?
(3 4; 2 6)(10 −1; 20 −1)(0 2; 15 −4)(3 2; 4 6)
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(3 4; 2 6)Pour BA on prend les lignes de B et les colonnes de A : 0×1 + 1×3 = 3, 0×2 + 1×4 = 4, 5×1 − 1×3 = 2, 5×2 − 1×4 = 6. (10 −1; 20 −1) est AB, (0 2; 15 −4) le produit terme à terme, et (3 2; 4 6) la transposée de la bonne réponse.
Le produit AB existe si le nombre de … de A est égal au nombre de … de B.
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Le produit AB existe si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.
Chaque somme associe une ligne de A à une colonne de B, terme à terme : les deux doivent avoir le même nombre de termes.
Non-commutativité : de quoi s'agit-il ?
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Propriété du produit de matrices : en général, AB et BA sont différents, et l'un peut exister sans l'autre.
Avec A = (1 2; 3 4) et B = (0 1; 5 −1), AB = (10 −1; 20 −1) alors que BA = (3 4; 2 6). On ne peut donc jamais échanger les facteurs sans l'avoir justifié.
AB = 0 (matrice nulle) entraîne-t-il A = 0 ou B = 0 ?
- Oui, comme pour les nombres réels : un produit nul a toujours un facteur nul
- Non, même pour des matrices carrées : deux facteurs non nuls peuvent donner un produit nul
- Oui, car det A × det B = 0 force l'une des deux matrices à être nulle
- Non, mais seulement quand A et B ne sont pas carrées : pour des carrées, oui
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Non, même pour des matrices carrées : deux facteurs non nuls peuvent donner un produit nul
(1 0; 0 0)(0 0; 0 1) est la matrice nulle alors qu'aucun des deux facteurs carrés ne l'est. Un déterminant nul veut dire « non inversible », pas « matrice nulle ». Il en résulte qu'on ne peut pas simplifier AB = AC en B = C.