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Propriétés de l'algèbre de Boole

L'algèbre de Boole sur {0, 1} : somme, produit, complément, ses lois (distributivités, éléments neutres et absorbants, idempotence, complémentation, absorption, De Morgan, dualité) et la simplification algébrique.

  • 24 cartes
  • 4 thèmes
  • Gratuit
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Le programme, thème par thème

Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.

  1. Notions
  2. Questions
  3. Ranger et relier
  4. Comprendre

Quelques cartes du deck

  • Algèbre de Boole : de quoi s'agit-il ?

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    Structure sur {0, 1} munie de la somme (+), du produit (·) et du complément (noté ā ou ¬a), qui obéit à un ensemble fixe de lois.

    Ici 1 + 1 = 1, pas 2 : la somme est le « ou » et le produit le « et ». Tout se vérifie en essayant les valeurs 0 et 1.

  • Que vaut a·b + a·b̄ ?

    • a
    • a·b
    • 1
    • b
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    a

    On met a en facteur : a·(b + b̄) = a·1 = a. La complémentation b + b̄ = 1 fait disparaître b.

  • Lois de De Morgan : ¬(a + b) = … et ¬(a · b) = ….

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    Lois de De Morgan : ¬(a + b) = ā · b̄ et ¬(a · b) = ā + b̄.

    Le complément échange somme et produit en complémentant chaque variable. Elles se vérifient en deux lignes de table de vérité.

  • Élément absorbant : de quoi s'agit-il ?

    Voir la réponse

    Valeur qui impose le résultat quelle que soit l'autre opérande : 1 pour la somme (a + 1 = 1), 0 pour le produit (a · 0 = 0).

    À ne pas confondre avec l'élément neutre, qui laisse a inchangé : 0 pour la somme (a + 0 = a), 1 pour le produit (a · 1 = a).

  • Comment démontre-t-on que (a + b)·(a + c) = a + b·c ?

    • On développe, puis les termes croisés s'annulent par complémentation (a·ā = 0)
    • On développe, puis a·a = a et a·(1 + b + c) = a absorbent les termes croisés
    • On développe comme en arithmétique, puis a + a = 2a se simplifie
    • On remplace chaque variable par 1 et on constate que les deux membres valent 1
    Voir la réponse

    On développe, puis a·a = a et a·(1 + b + c) = a absorbent les termes croisés

    (a + b)·(a + c) = a + a·c + a·b + b·c = a·(1 + c + b) + b·c = a + b·c. Aucun complément n'apparaît, 2a n'existe pas ici, et une seule ligne de la table ne prouve rien : il faudrait les huit.

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