Quantificateurs
Prédicats, quantificateurs ∀, ∃ et ∃!, variables libres et liées, ordre des quantificateurs et négation d'un énoncé quantifié.
- 24 cartes
- 4 thèmes
- Gratuit
Le programme, thème par thème
Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.
- Notions
- Questions
- Ranger et relier
- Mises en situation
Quelques cartes du deck
Prédicat : de quoi s'agit-il ?
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Énoncé qui contient une ou plusieurs variables et devient une proposition, vraie ou fausse, quand on leur donne une valeur : « x est pair ».
Tant que x n'a pas de valeur, on ne peut pas dire s'il est vrai. Un quantificateur est l'autre moyen d'en faire une proposition.
Quelle est la négation de « tout étudiant a validé au moins un module » ?
- Il existe un étudiant qui n'a validé aucun module
- Aucun étudiant n'a validé de module
- Il existe un étudiant qui a validé tous les modules
- Il existe un étudiant qui n'a pas validé tous les modules
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Il existe un étudiant qui n'a validé aucun module
∀ devient ∃ et « au moins un » (∃) devient « aucun » (∀, non). « Aucun étudiant n'a validé de module » est trop forte : un seul étudiant sans module suffit à réfuter l'énoncé. « N'a pas validé tous les modules » nie le mauvais quantificateur.
La négation de « ∀x, P(x) » est « …, non P(x) » ; la négation de « ∃x, P(x) » est « …, non P(x) ».
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La négation de « ∀x, P(x) » est « ∃x, non P(x) » ; la négation de « ∃x, P(x) » est « ∀x, non P(x) ».
Nier un énoncé quantifié échange ∀ et ∃ et nie ce qui suit. C'est la généralisation de De Morgan : ∀ est un grand ∧ et ∃ un grand ∨.
Quantificateur universel ∀ : de quoi s'agit-il ?
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Symbole qui se lit « pour tout » : ∀x, P(x) affirme que P(x) est vrai pour chaque valeur de x dans l'ensemble considéré.
Un seul cas où P(x) est faux suffit à le réfuter, mais aucun nombre d'exemples ne suffit à l'établir.
Dans ℕ (qui contient 0), parmi « ∀n ∃m, m > n » et « ∃m ∀n, m > n », lesquelles sont vraies ?
- Seulement la première : m = n + 1 convient pour chaque n
- Les deux, car elles disent la même chose
- Seulement la seconde : un grand m convient à tous
- Aucune des deux
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Seulement la première : m = n + 1 convient pour chaque n
Dans la seconde, m devrait dépasser tous les entiers, y compris lui-même (n = m donne m > m). Intervertir ∀ et ∃ change le sens : ∃m ∀n implique ∀n ∃m, jamais l'inverse.