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Suites récurrentes

Suites où chaque terme se calcule à partir du précédent par une fonction f : premiers termes, escalier, point fixe, suites arithmético-géométriques ramenées à une suite géométrique et récurrences d'ordre 2 du type Fibonacci.

  • 25 cartes
  • 5 thèmes
  • Gratuit
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Le programme, thème par thème

Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.

  1. Notions
  2. Questions
  3. Ranger et relier
  4. Mises en situation
  5. Comprendre

Quelques cartes du deck

  • Relation de récurrence : de quoi s'agit-il ?

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    Égalité qui exprime chaque terme d'une suite à l'aide du ou des termes qui le précèdent ; elle ne fixe la suite qu'avec ses premiers termes.

    uₙ₊₁ = 2uₙ + 3 ne dit rien tant qu'on n'a pas u₀ : avec u₀ = 0 on obtient 3, 9, 21 ; avec u₀ = 1 on obtient 5, 13, 29.

  • Qu'affiche ce programme ?

    ```python
    u = 1
    for _ in range(3):
    u = 2 * u + 3
    print(u)
    `

    • 29
    • 13
    • 61
    • 8
    Voir la réponse

    29

    Les trois tours donnent 5, 13, 29 : c'est u₃. Deux tours s'arrêtent à 13, quatre tours vont jusqu'à 61, et 8 oublie le « + 3 » à chaque tour.

  • Si la suite uₙ₊₁ = f(uₙ) converge vers ℓ et que f est …, alors ℓ vérifie ….

    Voir la réponse

    Si la suite uₙ₊₁ = f(uₙ) converge vers ℓ et que f est continue, alors ℓ vérifie f(ℓ) = ℓ.

    On passe à la limite dans uₙ₊₁ = f(uₙ) : la continuité permet d'écrire lim f(uₙ) = f(ℓ). La réciproque est fausse : un point fixe n'est pas toujours une limite.

  • Suite définie par récurrence : de quoi s'agit-il ?

    Voir la réponse

    Suite dont on donne le premier terme u₀ et une fonction f qui fournit chaque terme à partir du précédent : uₙ₊₁ = f(uₙ).

    Pour atteindre u₁₀₀ depuis u₀, il faut calculer un à un u₁, u₂, …, u₉₉, à moins de trouver une formule explicite en fonction de n.

  • La suite vérifie uₙ₊₁ = 0,8uₙ + 6. Quelle suite auxiliaire est géométrique ?

    • vₙ = uₙ − 6, de raison 0,8
    • vₙ = uₙ + 30, de raison 0,8
    • vₙ = uₙ − 30, de raison 0,2
    • vₙ = uₙ − 30, de raison 0,8
    Voir la réponse

    vₙ = uₙ − 30, de raison 0,8

    Le point fixe est ℓ = 6 / (1 − 0,8) = 30. Alors uₙ₊₁ − 30 = 0,8uₙ + 6 − 30 = 0,8(uₙ − 30). On retranche le point fixe, pas la constante 6, et la raison reste 0,8.

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