Le théorème central limite
Pourquoi les sommes et les moyennes ont une forme de cloche, de combien la moyenne d'un échantillon se resserre quand il grossit, quand on peut s'en servir et comment calculer une probabilité sur une somme.
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- 6 thèmes
- Gratuit
Le programme, thème par thème
Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.
- Notions
- Questions
- Ranger et relier
- Les chiffres
- Mises en situation
- Comprendre
Quelques cartes du deck
Théorème central limite : de quoi s'agit-il ?
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Résultat qui dit que la somme (ou la moyenne) d'un grand nombre de variables indépendantes de même loi suit à peu près une loi normale, quelle que soit la loi de départ.
La forme de cloche vient de l'addition elle-même, pas de la loi de départ : un dé plat, une exponentielle dissymétrique ou une pièce donnent la même cloche une fois additionnés.
On lance 30 dés et on note la moyenne des 30 résultats, puis on recommence 500 fois. Quelle forme a l'histogramme des 500 moyennes ?
- Une cloche centrée sur 3,5
- Un histogramme plat, comme celui d'un seul dé
- Une cloche centrée sur 105, la somme moyenne des 30 dés
- Deux bosses, vers 1 et vers 6
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Une cloche centrée sur 3,5
L'espérance d'un dé est 3,5 et les moyennes de 30 dés se regroupent autour d'elle en cloche. Le plat concerne un seul lancer, pas la moyenne ; 105 serait le centre des sommes, non des moyennes.
La moyenne de n variables indépendantes de même loi, d'espérance μ et d'écart-type σ, suit à peu près une loi … d'espérance … et d'écart-type ….
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La moyenne de n variables indépendantes de même loi, d'espérance μ et d'écart-type σ, suit à peu près une loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ/√n.
La moyenne reste centrée sur μ : seule sa dispersion diminue, comme 1/√n.
Loi de la moyenne d'échantillon : de quoi s'agit-il ?
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Loi de la moyenne que l'on obtiendrait en recommençant le tirage de n valeurs un grand nombre de fois.
Une moyenne d'échantillon est elle-même aléatoire : elle a une espérance et un écart-type. C'est cette loi, et non celle d'une valeur isolée, que le théorème décrit.