EnglishCommencer

Types de raisonnement

Les six façons de démontrer : direct, par contraposée, par l'absurde, par disjonction de cas, par contre-exemple et par récurrence, avec la structure de chacune.

  • 22 cartes
  • 5 thèmes
  • Gratuit
Réviser ce deck

Le programme, thème par thème

Le poids de chaque thème suit celui que lui donne l'examen.

  1. Notions
  2. Questions
  3. Ranger et relier
  4. Les chiffres
  5. Mises en situation

Quelques cartes du deck

  • Raisonnement direct : de quoi s'agit-il ?

    Voir la réponse

    Démonstration d'une implication p ⇒ q qui part de l'hypothèse p et enchaîne des déductions jusqu'à la conclusion q.

    C'est la méthode par défaut : si n est pair, n = 2k, donc n² = 4k² = 2(2k²) est pair. On n'en change que quand le direct n'avance plus.

  • Pour démontrer, avec a et b réels, « si a + b ≥ 2, alors a ≥ 1 ou b ≥ 1 » par contraposée, que faut-il démontrer ?

    • Si a < 1 et b < 1, alors a + b < 2
    • Si a < 1 ou b < 1, alors a + b < 2
    • Si a ≥ 1 ou b ≥ 1, alors a + b ≥ 2
    • Si a + b < 2, alors a < 1 et b < 1
    Voir la réponse

    Si a < 1 et b < 1, alors a + b < 2

    La contraposée échange et nie : la négation de « a ≥ 1 ou b ≥ 1 » est, par De Morgan, « a < 1 et b < 1 », et celle de a + b ≥ 2 est a + b < 2. La preuve est alors immédiate : on additionne les deux inégalités. Garder le « ou » oublie De Morgan ; les deux autres phrases sont la réciproque et l'inverse.

  • Une preuve par récurrence a trois étapes : l'…, l'… et la conclusion.

    Voir la réponse

    Une preuve par récurrence a trois étapes : l'initialisation, l'hérédité et la conclusion.

    L'initialisation vérifie le premier rang, l'hérédité passe de n à n + 1 en supposant la propriété au rang n, la conclusion énonce qu'elle est vraie pour tout n à partir du premier rang.

  • Raisonnement par contraposée : de quoi s'agit-il ?

    Voir la réponse

    Démonstration de p ⇒ q qui prouve à la place l'implication équivalente ¬q ⇒ ¬p.

    Utile quand la conclusion est plus facile à nier que l'hypothèse à exploiter : « 3 divise n² ⇒ 3 divise n » se montre en supposant n = 3k + 1 ou 3k + 2, d'où n² = 3(3k² + 2k) + 1 ou 3(3k² + 4k + 1) + 1, qui n'est pas multiple de 3.

Réviser ce deck